Выражение стоящее под знаком логарифма

Решение логарифмических уравнений

выражение стоящее под знаком логарифма

Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по Однако обратим внимание, что выражение, стоящее в левой части этой. Для основания логарифма имеем 0 2 1 выражения, 3 стоящего под знаком логарифма, выполняется 0 3 7 1 3 3. Дайте определение логарифма числа. 2.Дайте название . Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть неотрицательным. 3. Если a>0 .

Никаких лишних корней в этих случаях не возникнет. И это еще одна замечательная хитрость, которая позволяет ускорить решение. Просто знайте, что если в задаче переменная х встречается лишь в одном месте а точнее — в одном-единственном аргументе одного-единственного логарифмаи больше нигде в нашем случае нет переменной х, то записывать область определения не нужно, потому что она будет выполняться автоматически.

С тем же успехом мы можем записать, что во втором случае х должен быть равен 52. Другими словами, область определения выполняется автоматически, но только при условии, что х встречается лишь в аргументе лишь одного логарифма.

Логарифмические уравнения и неравенства

Вот и все, что нужно знать для решения простейших задач. Уже одно это правило вместе с правилами преобразования позволит вам решать очень широкий класс задач. Но давайте будем честными: Поэтому прямо сейчас скачайте варианты для самостоятельного решения, которые прилагаются к данному видеоуроку и начните решать хотя бы одну из этих двух самостоятельных работ.

Времени у вас уйдет буквально несколько минут. А вот эффект от такого обучения будет намного выше по сравнению с тем, если бы вы просто просмотрели данный видеоурок. Надеюсь, этот урок поможет разобраться вам с логарифмическими уравнениями.

Применяйте каноническую форму, упрощайте выражения с помощью правил работы с логарифмами — и никакие задачи вам будут не страшны. А у меня на сегодня. Учет области определения Теперь поговорим об области определения логарифмической функции, а также о том, как это влияет на решение логарифмических уравнений. Решается оно очень. Достаточно лишь использовать формулу: У многих учеников наверняка возникнет вопрос: Так, может быть, вследствие этого ограничения следует ввести проверку на ответы?

Быть может, их нужно подставлять в исходник? Нет, в простейших логарифмических уравнениях дополнительная проверка излишня. Взгляните на нашу итоговую формулу: Число а является основанием. При этом на число b никаких ограничений не накладывается. Но это и неважно, потому что в какую бы степень мы бы не возводили положительное число, на выходе мы все равно получим положительное число. Что действительно стоит проверять, так это область определения функции, стоящей под знаком log.

Там могут встречаться довольно непростые конструкции, и в процессе решения за ними обязательно нужно следить. Избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение: Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля.

Единственным ответом будет число 9. Никаких дополнительных проверок того, что выражение под знаком логарифма больше 0, не требуется, потому что оно не просто больше 0, а по условию уравнения оно равно 2.

выражение стоящее под знаком логарифма

Переходим ко второй задаче: Здесь все то же. Переписываем конструкцию, заменяя тройку: Избавляемся от знаков логарифма и получаем иррациональное уравнение: Возводим обе части в квадрат с учетом ограничений и получаем: Вот и все решение. Давайте вернемся в самое начало наших вычислений.

Основной вывод из этого урока: Потому что в процессе решения все ограничения выполняются автоматически.

выражение стоящее под знаком логарифма

Однако это ни в коем случае не означает, что о проверке можно вообще забыть. В процессе работы над логарифмическим уравнением вполне может перейти в иррациональное, в котором будут свои ограничения и требования к правой части, в чем мы сегодня и убедились на двух различных примерах.

Смело решайте такие задачи и будьте особо внимательные, если в аргументе стоит корень. Логарифмические уравнения с разными основаниями Продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем еще два довольно интересных приема, с помощью которых модно решать более сложные конструкции.

выражение стоящее под знаком логарифма

Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи: Преобразовывать такие логарифмические уравнения мы будем с помощью канонической формы. Давайте перепишем это выражение следующим образом: В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы: Давайте применим это правило к нашим сегодняшним задачам.

Логарифмические уравнения #1

Прежде всего, отмечу, что справа стоит дробь, в знаменателе которой находится log. Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов: Тогда с учётом рассматриваемого ограничения на получаем для этого случая. В этом случае оба логарифма будут возрастающими, поэтому после ухода от знаков логарифма, знак неравенства останется прежним.

То есть в этом случае исходное логарифмическое неравенство можно заменить следующим: То есть решение в данном случае имеет вид: Объединяя решения, полученные в пунктах а и бприходим к окончательному ответу, который имеет вид: Решение логарифмических неравенств методом рационализации Описанный в предыдущем параграфе способ является правильным, но при этом чрезвычайно неудобным.

Как видите, приходится рассматривать два отдельных случая, что существенно повышает вероятность совершения ошибки. Напомним, что решением неравенства называется значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения и обосновать, что других решений нет или доказать, что решений.

Понятно, что каждое решение заданного неравенства входит как в область определения функции f xтак и в область определения функции g x иначе мы не сможем получить верное числовое неравенство. Таким образом, каждое решение неравенства обязательно входит в ОДЗ этого неравенства. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ неравенства для его решения. Равносильные неравенства С понятием равносильности неравенств вы знакомы еще из курса алгебры 9 класса.

Действительно, каждое решение неравенства обращает его в верное числовое неравенство, и если верное неравенство сохраняется, то решение каждого из неравенств будет также и решением другого, таким образом, неравенства будут равносильны. Кроме выделенных общих ориентиров, для выполнения равносильных преобразований неравенств можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности.

В связи с уточнением определения равносильности неравенств обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности неравенств, известных из курса алгебры 9 класса. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному на любом множестве. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенстване изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному на ОДЗ заданного.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному на ОДЗ заданного.

Обоснование этих теорем проводится с использованием основных свойств числовых неравенств и полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований заданного неравенства.

Логарифмические уравнения: краткий курс

Мы пока уравнение не решили. Но уже твёрдо знаем, что икс не может равняться нулю ни при каких обстоятельствах! На ноль делить нельзя! На любое другое число — целое, дробное, отрицательное — пожалуйста, а на ноль — ни в коем разе! Иначе исходное выражение становится бессмыслицей. Это означает, что ОДЗ в этом примере: Как записывать ОДЗ, как вообще с этим работать? Всегда рядом с примером пишите ОДЗ.